偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出。偏最小二乘法实现了，在一个算法下，可以同时实现回归建模（多元线性回归）、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量之间的相关性分析（典型相关分析）。 PCA方法虽解决了自变量共线性的问题，但是并没有考虑自变量主元对于因变量变化的解释作用。所以删除的次要主元有可能包含对回归有益的信息，而保留的主元有可能会夹杂一些对回归模型输出无益的噪声。 PLS方法，通过将自变量和因变量的高维数据空间投影到相应的低维空间，分别得到自变量和因变量的相互正交的特征向量，再建立自变量和因变量的特征向量间的一元线性回归关系。不仅可以克服共线性问题，它在选取特征向量时强调自变量对因变量的解释和预测作用，去除了对回归无益噪声的影响，使模型包含最少的变量数。

准则函数通俗的讲就是提取主元时所按照的准则，与PCA不同，PLS在提取主元时考虑的不仅是能最大程度概括自变量空间的数据信息，还应该考虑自变量主元对于因变量变化的解释作用。因此J.Hinkle提出的新的残差平方和指标： 下面就是对这个式子的各种变换，具体推导过程比较复杂，但最终这个式子就等价于， 确定权值向量wi和ci使满足：

令E0=X, F0=Y，那么上式即在 的约束条件 下求 的极大值，建立上式的拉格朗日函数： 最后解得： 可见w1和c1分别为 最大特征值λ_1所对应的特征向量。

分别对应自变量和因变量的成分。

求得第一个主成分后，按照上式对数据矩阵进行缩减，得到缩减后的残差矩阵：

最终可以建立PLS模型： Y=TβQ^T+F=TB+F T为X的得分矩阵，U为Y的得分矩阵，Q为Y对应于u的负荷矩阵，β为回归系数矩阵，F为残差矩阵。

将数据矩阵E0=X，F0=Y的每一列进行中心化和方差归一化处理

计算互协方差矩阵

计算归一化的权值向量wi

计算得分向量

计算Ei-1,Fi-1相应于ti的负荷向量pi,bi

令i=i+1返回2继续计算

计算PLS模型对得分矩阵T的输出：Y=TB

MATLAB当中有偏最小二乘的函数plsregress函数，介绍如下： 参数解释： Ncomp是因子或潜在变量的个数，计算Y在X上的回归，返回预测和响应载荷。 X是np预测变量，行对应观测项，列对应变量。 Y是nm响应矩阵。 Xloadings是pncomp因子载荷，简单来说就是因子对应原变量的线性组合系数。 Xscores返回预测变量得分，简单来说就是PLS因子，是X中变量的线性组合。Xscores是一个nncomp正交矩阵，行对应观察值，列对应因子。因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合。如，通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11X1+a21X2+a31X3，其中X1，X2，X3为原变量，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子。 beta为回归模型的系数 PCTVAR是一个两行的矩阵，第一行为自变量提取成分的贡献率，第二行为因变量提取成分的贡献率 MSE是一个两行的矩阵，第一行的第j个元素表示自变量与它的前j-1个提出成份之间回归方程的剩余标准差；第二行的第j个元素对应着因变量与它的前j-1个提出成份之间回归方程的剩余标准差； stats返回4个值stats.W是一个PLS权重的ρncomp的矩阵，使XS=X0W,每一列对应特征向量ρi stats.T2是XS每一点的T^2统计值 stats.Xresiduals为预测值残差，X0-XSXL’ stats.Yresiduals为响应残差，Y0-XS*YL’

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[1] 王桂增《主元分析与偏最小二乘法》清华大学出版社 [2] 偏最小二乘（pls）回归分析 matlab 博客链接 [3] 百度文库 偏最小二乘法(PLS)简介 百度文库链接 [4] 道客巴巴 Unscrambler X教程 教程链接